読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

猫好きな老体気味SEの備忘録

タイトル通り、不定期更新、基本猫の話題は奥さんのブログに他力本願

確率の基礎

気になった問題

23人の誕生日を調査した時に同じ誕生日の人が1組以上出来る確率を求めよ。

全体の事象としては、
365日x23人
これだけでも大分大きい。

そういえばこの問題に、閏年の取り扱いが書かれてない。
閏年を考慮すると、2/29生まれの人がいる確率ってのも考える必要があるのか、そもそも366通りの誕生日として計算すべきなのか、よくわからないなぁ。
前者は、私のような素人には無理なので、後者で考えよう。

この手の問題は、一見「どういう組み合わせがあるかなぁ、みたいに考えてしまうわけ」ないか、、、せっかちな人はきっとそういう思考になるんではないかな。
実は、23人の誕生日が異なる事象を計算して、その確率を求める。これをとする。
最終的に求めたい「同じ誕生日の人が1組以上いる確率」ってのは、
1-P
と求まる。
つまり、全員誕生日が異なるケースを除けば、誰かしらと誕生日が一致するケースとなるわけ。

確率計算で必要な知識

  • 事象と集合の整理ができること
  • 順列、組合せ、及びそれぞれの重複を考慮した計算
  • 上記を整理できた上での確率の加法・乗法定理の知識
これで、ようやく正しく計算できる。
もちろん、場合の数が大きくなってくると通勤中に頭の中だけで解決しようなんで無理。

多分集約手法があるはずだ!

と、思ったが、今回の問題を私のレベルでも暗算できるくらいの集約ってできるかな?
計算値は出せないが、計算式が書ける程度かな。続きは、無料提供されてるAppleのNumbersで!

計算式にしてみる

まず2人で、1人目が366通りの誕生日の可能性がある。2人目が異なるのは残り365日。
2人とも異なる確率は、
366/366 × 365/366 = 0.9973
これを23人分繰り返せば、全員の誕生日が異なる確率が求まるはず。

式にしたいが、スマホだと上手くかけない。

366日のバリエーションから23人分の誕生日を取り出す「場合の数」は、こんな計算になるはず。
366! / { 23! × (366 - 23 + 1)! } 

23人の誕生日の組合せは、重複を許されるから、その場合の数を求める。

これ結構難しいので、重複を許す組合せの求め方は、サイコロ2つで考えてみる。

1-1. 1-2. 1-3. 1-4. 1-5. 1-6
       2-2. 2-3. 2-4. 2-5. 2-6
このように並べていくと、21通りあるということがわかる。
この2つのサイコロをAとBで区別した時の表を考えるとわかりやすい。どっちが行でも列でもいいが、6×6の表になる。
対角線に並ぶのがゾロ目。
ゾロ目の線を挟んで、右上の部分と左下の部分は同じ値になるので、サイコロを区別しない場合、同一ケースになるので、それを取り除くと21通りということになる。
数式にすると、
6 × 6 - 15 = 21

数学的に表すと、

7C2 = 7! / { 2!  × (7 -  2)! } = 21
サイコロの目が6通りなのに、ゾロ目を許すと1個ふえるのは、多分組合せの計算式が重複を許さないように決まったからではないかな?
現にサイコロの目が7つある前提で表を作って、対角線にあるゾロ目を除いて組合せ数を数えると、21になる。

二次元なら表書けばわかりやすい。

今回の問題は、同じ言い方をすると23次元かな?

( 366 + 23 - 1 ) → 388
これは誕生日の種類が22人分増えるという意味の数になる。



この値を分母にしれば23人の誕生日が異なる確立が求まる。
あとは、全体(1)からを引くだけ。
1 -


今日は寝不足で、頭が回らないですぅ。

あってないような気がしてきた。
明日直そう。

後日、少しわかったことを修正しておきました。

場合の数、懐かしいですね。
だいたい思い出してきたので、今日から統計の勉強に戻ります。